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数学 関数の話

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数学 関数の話


関数とは

一般に2つの変数xとyの間にある関係があり、この関係に従ってxを定めるとこれに対応してyの値が一つ定まるとき、「yはxの関数である」といい、下式で表されます。

y = f(x) … yはxの関数である

関数 y = f(x)において、
xのとりうる値の幅をこの関数の「定義域」とよび、
f(x)のとりうる値の範囲を「値域」と呼びます。


指数関数とは

定数aがa>0 かつ a≠1 を満たすとき、
関数y=a
aを底とするxの指数関数といいます。

(aをyにするためにはx乗が必要)

対数関数とは

定数aがa>0 かつ a≠1で、
xを正の数とするとき、
関数a = x を満たすyを
aを底とするxの対数関数といい、log a xとあらわします。

(aをxにするためにはy乗が必要)

y = log a x ⇔ a = x

とくに a=10のとき、 (y=) log10 x を「xの常用対数」といいます。

対数の性質

logaa =1

loga1 =0

logaXY = logaX + loga
(X、Yを正の数、nを実数とするとき)

loga(X/Y )= logaX - loga

loga= n・loga

対数の底の変換公式

loga(X/Y )= logaX - loga

logAB = logcB / logcA


1次関数とは

1次関数 y=ax+b (a≠0)のグラフは「傾きa、y切片bの直線」になります。

傾きaがプラス の値の時は右肩上がりの直線
傾きaがマイナスの値の時は右肩下がりの直線

なお、b=0のときは関数y=axのグラフは「原点を通る直線」となり、yとxが比例していることを表します。

2次関数とは

2次関数 y = ax2 + bx + c (a≠0)のグラフは

aがプラス の値なら、
下に凸な放物線 になります。

aがマイナスの値なら、
上に凸な放物線 になります。

放物線の頂点の座標を(p、q)とすると、座標の値は下式で求められます。

p = -b/2a
q = - (b2 - 4ac)/4a

対称軸の直線は x = -b/2a

y軸との交点のy座標は y=c つまりy軸との交点の座標は(0,c)

2次関数 y = ax2 + bx + c とx軸との交点が存在するとき、
交点のx座標は2次方程式 y = ax2 + bx + cの実数解になります。

つまり座標 (α,0) (β,0)

2次関数のグラフの平行移動

(p,q)を頂点とする2次関数 y=a(x-p)2+q のグラフは、
原点を頂点とする2次関数 y=ax2 のグラフを
x軸方向にp
y軸方向にqだけ
平行移動したものです。

一般に関数y=f(x)のグラフをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動して獲られる関数のグラフは下式で表されます。

y-q = f(x-p)
または
y=f(x-p)+q

2次式の平方完成とは

平方完成とは、2次関数 y = ax2 + bx + c のグラフの変化の様子を調べるために、標準形y=a(x-p)2+qに変形すること。

y = ax2 + bx + c

y = a(x+(b/a)x) + c

2次関数の最大・最小

まずは2次関数 y = ax2 + bx + c (a≠0)を
標準形 y=a(x-p)2 + q の形にします。

y = ax2 + bx + c を平方完成すると、下式のようになります。

y=a(x + b/2a) - (b2 -4ac)/4ac


定義域が実数全体のとき

(つまりxの範囲が無制限のとき)

aがプラスの値なら
最大値なし
最小値q(x=pのとき)

aがマイナスの値なら
最大値q(x=pのとき)
最小値なし

定義域が与えられているとき

(xの範囲に制限があるとき)

定義域の端と頂点に注目して考えます。
対称軸x=pが定義域に含まれているかどうかで大きく状況が変わります。

1.対称軸x=pが定義域に含まれるとき

aがプラスの値なら
軸から遠い方の端点が最大値
最小値q(x=pのとき)

aがマイナスの値なら
最大値q(x=pのとき)
軸から遠い方の端点が最小値

2.対称軸x=pが定義域の外にあるとき

aがプラスの値なら
軸から遠い方の端点が最大値
軸に近い方の端点が最小値

aがマイナスの値なら
軸に近い方の端点が最大値
軸から遠い方の端点が最小値