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量子力学の関係式の理解の仕方

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量子力学の関係式


量子力学とは

量子論の確立とともに古典力学の再検討を進めていった結果、1925年にハイゼンベルグが行列力学をを考案しました。

1926年にはシュレディンガーが物質波の考えと波動方程式を組み合わせてシュレディンガー方程式と呼ばれる微分方程式を考案しました。
これらは本質的には同じもので、表現の方法がそれぞれ違うだけであることがまもなく証明されました。

この新しい力学を量子力学(quantum mechanics)と呼び、量子力学は化学の問題にも応用されるようになりました。

この結果発展した分野を量子化学(quantum chemistry)と呼び、現在の化学理論の重要な基礎になっています。


量子力学の特徴

量子力学は古典力学の延長上で捉えられる面もありますが、私たちが見るマクロな物体の運動とは異なり、直感的にイメージできない部分もあります。
量子力学の特徴としては、以下のようなものがあります。

1.量子力学の対象となるものは粒子性と波動性を併せ持つ


2.量子力学的な粒子の状態は波動関数Ψで記述できる


一般に、波動関数は複素数で表され、一価の連続な関数で有限の値となります。

3.│Ψ│2・dVは量子力学的な粒子が微小体積dVに存在する確率に比例する

粒子は全空間のどこかには存在するので、以下の規格化条件を満たせば、│Ψ│2・dVは確率そのものになります。

∫│Ψ│2・dV = 1


4.ハイゼンベルグの不確定性原理

(Heisenberg's uncertainty principle)
量子力学的な粒子の位置と運動量を同時に正確には決定できません。

5.各物理量は波動関数Ψに対してある種の演算をすることを表す演算子に対応する

演算子AをΨに作用させたとき、Ψがaを定数として、

AΨ = aΨ

を満たすとき、aをAの固有値、Ψをaに属する固有関数といいます。

また、上式を固有方程式と呼びます。
このとき、Ψの状態でのAに対応する物理量の値はaとして与えられます。

シュレディンガー方程式とは

エネルギーEという物理量に対応する演算子はハミルトニアンHです。
Hは運動エネルギーTとポテンシャルエネルギーVの和で表されます。

粒子が以下の固有方程式を満たせば、エネルギーEが固有値になり、Ψはそれに属する固有関数になります。

H・Ψ(x,y,z) = E・Ψ(x,y,z)

上式をシュレディンガー方程式(Schrodinger equation)と呼びます。

原子価結合法とは

原子価結合法(Valence bond theory:VB法)は、原子価結合法は各原子の価電子が相互作用する状態を波動関数で表してエネルギーを求める方法。
複数の原子が結合した分子やイオンではシュレディンガー方程式を厳密に解くことはできないので、ある近似をして波動関数を求めます。

分子軌道法(MO法)とは

分子軌道法は原子で原子軌道(AO)を考えたのと同じように、分子全体に広がる分子軌道(MO)を考えて、この状態を表す波動関数Ψを求めます。

分子軌道法では、通常分子起動を表す波動関数Ψを分子を構成する各原子の原子軌道の線形結合で表す近似を行います。
このやり方をLCAO MO法と呼びます。

分子軌道法を行うと、Ψ+とΨ-の二つの分子軌道が得られます。

Ψ+は結合性軌道と呼び、エネルギーの極小値が存在するので分子軌道が形成されることで安定な結合が生じることを意味します。

Ψ-は反結合性軌道と呼び、エネルギーの極小値が存在せずに単調減少となり、安定な結合が生じないことを意味します。