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衝突とはねかえり係数の話

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衝突とはねかえり係数の話


衝突とはねかえり係数とは

はねかえり係数(反発係数:coefficient of restitution)とは
2物体の衝突において、
衝突前の互いに近づく速さに対する、
衝突後の互いに遠ざかる速さの「」のこと。

はねかえり係数 e は、衝突のでの相対速度の大きさの比で表されます。

  v

三 ● → ←○三

  m

′  v

←●三 三 ○→

e = -(v′- v')(v - v)

e = │ v′- v'││ v - v

e = 1 の衝突 :(完全)弾性衝突

(衝突前後で力学的エネルギーが保存される)

0≦e<1 の衝突 :非弾性衝突

(衝突前後で力学的エネルギーが保存されない)

e = 0 の衝突 :完全非弾性衝突

(衝突前後で力学的エネルギーが保存されない)



質量mの物体Aと、質量mの物体Bの一直線上の衝突の場合

一直線上を速度v、vで運動していた2物体が衝突し、衝突後の速度がそれぞれv′、v′ になったとき、以下の2つの関係式が成立します。

運動量保存の法則 m + m = m′ + m

はねかえり係数 e = - (v1′ - v′) / (v - v)

(eの値は 0≦e≦1 の範囲にあります)

衝突のA、Bの速度をv、v

衝突のA、Bの速度をv′、v′ とし、
BがAから受けた力積をIとすると、
作用反作用の法則からAがBから受けた力積は-I です。

運動量と力積の関係から、下式が導かれます。

・v′ - m・v = -I
・v′ - m・v = I

上の2式を足し合わせると、下式のようになります。

・v′ - m・v + m・v′ - m・v = 0

・v′ + m・v′ = m・v + m・v

・v + m・v = m・v′ + m・v′ …(ア)

衝突が一直線上のとき、
│v│=v
│v│=v
│v′│=v
│v′│=v' とすると、

・v + m・v = m・v′ + m・v

よって、2物体に作用反作用 一対の内力しか働かないとき、運動量の和は変化しません。

このことを「運動量保存の法則」と呼びます。

このとき、AとBの間のはねかえり係数(反発係数)eは衝突前の相対速度の大きさに対する、
衝突後の相対速度の大きさとして定義され、
下式で表されます。

e = -(v′- v') / (v - v) …(イ)

(ア)、(イ)の連立方程式から、衝突後の速度v′や v′を求めることができます。

e = 1 の衝突 :(完全)弾性衝突

(衝突前後で力学的エネルギーが保存される)

0≦e<1 の衝突 :非弾性衝突

(衝突前後で力学的エネルギーが保存されない)

e = 0 の衝突 :完全非弾性衝突

(衝突前後で力学的エネルギーが保存されない)

力学的エネルギーが保存されるのは、e = 1 のときだけ。

0≦e<1 の衝突のとき、

力学的エネルギーは衝突によって減少します。

e = 0 の衝突の場合、

衝突後2物体は一体になり、
′= v′ となるので、(ア)式のみを考えればよいことになります。

同じ質量の2物体が衝突するとき

質量が同じ2物体A、Bが衝突したとき、
衝突後の速度v′、v′ は
以下のようにあらわせます。

m・v + m・v = m・v′ + m・v

+ v = v′ + v′ …(1)

はねかえり係数の式から、
e = -(v′- v') / (v - v)

′- v' = e・v - e・v …(2)

(1)、(2)式から
′ = (1-e)/2・v + (1+e)/2・v

′ = (1+e)/2・v + (1-e)/2・v

なお、e=1のとき、
′ = v
′ = v となり、
2物体AとBは互いに速度を交換します。

壁や床と垂直に衝突するときのはねかえり係数

壁や床と垂直に衝突するときのはねかえり係数は、下式のように表されます。


はねかえる速さ当たる速さ
v′
(0≦e≦1)

v′:衝突後の速度
v :衝突前の速度