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数学 色々な数の話

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数学 色々な数の話

倍数とは

倍数とは、ある数を整数倍してできた数のこと。
例えば、2の倍数は 2、4、6、8、10・・・ となります。

倍数の法則とは

一の位が偶数だと             2の倍数
各ケタの和が3の倍数だと         3の倍数
下2ケタが4の倍数か00だと       4の倍数
一の位が0か5だと            5の倍数
2の倍数でもあり、3の倍数でもあると   6の倍数
下3ケタが8の倍数か000だと      8の倍数
各ケタの和が9の倍数だと         9の倍数
一の位が0だと              10の倍数


公倍数とは

公倍数とは、いくつかの整数に共通な倍数のこと。

例えば、2と3の公倍数は2の倍数でもあり、3の倍数でもあるので、
6、12、18、24、36・・・となります。

また、4と6の公倍数は4の倍数でもあり、6の倍数でもあるので、
12、24、36・・・となります。


最小公倍数とは

最小公倍数とは、公倍数のうち、一番小さい数のことのこと。

例:2と3の最小公倍数とは
2の倍数でもあり、3の倍数でもある数のうち、最も小さい数のこと。

2の倍数:2、4、6、8、10・・・
3の倍数:3、6、9、12・・・

よって、2と3の最小公倍数は6となります。


約数とは

約数とは、ある数を余りなく割り切れる数のこと。

例えば、15の約数は 1、3、5、15 となります。

公約数とは

公約数とは、いくつかの整数に共通な約数のこと。

例えば、15と18の公約数は15の約数でもあり、18の約数でもあります。

18の約数が1、3、6、9、18だから、15と18の公約数は1、3となります。

最大公約数とは

最大公約数とは、公約数のうち、一番大きい数のこと。
例えば、15と18の最大公約数は3になります。


素数とは

素数とは、1より大きい正の整数で、それ自身と1以外で割り切れない数のこと。

つまり、約数が2個しかない数のことで、素数の約数は1とその数自身だけです。

なお、1は素数に含めないので注意!

素数の例:2、3、5、7、11、13、17、19、23・・・


「素」とは

2つの正の整数AとBが、1以外に公約数をもたないとき、AとBは互いに「素」という関係です。

2つの整数AとBの積ABが整数Cで割り切れ、しかもAとCが互いに素であれば、BはCで割り切れます。


平方数とは

平方数とは、ある整数を2乗してできる数のこと。

 1 =   1
 2 =   4
 3 =   9
 4 =  16
 5 =  25
 6 =  36
 7 =  49
 8 =  64
 9 =  81
10 = 100
11 = 121
12 = 144
13 = 169
14 = 196
15 = 225
16 = 256
17 = 289
18 = 324
19 = 361
20 = 400


数列とは

数列とは、あるルールに従って数を並べたもののこと。

自然数の和の公式とは

1からnまでの自然数の和を求める公式は、下式で表されます。

1+2+3+・・・+n = 1/2・n(n+1)

自然数の2乗の和

Σk=1 = 1/6・n(n+1)(n+2)

自然数の3乗の和

Σk=1 = { 1/2・n(n+1) }

等差数列とは

等差数列とは、
に公差dを加えると
n+1が得られる数列のこと。

漸化式は an+1 - a = d

初項a1
公差dの等差数列の第n項をaとすると、
一般項は下式で表されます。

= a1 + (n-1)d

初項a1、末項an、項数nの等差数列の和Sは下式で表されます。

= n/2 ・ (a+a)

= n/2 ・ {2a+(n-1)d}}

等比数列とは

等比数列とは、
に公比rをかけると
n+1が得られる数列のこと。

漸化式は an+1 =r・ a

初項a、公比rの等比数列の第n項をaとすると、一般項は下式で表されます。

an = a・r(n-1)

初項a、末項b、項数nの等比数列の和Snは下式で表されます。

公比r≠1のとき
= a(1-r) / 1-r
= a-br / 1-r

公比r=1のとき
= a


等差数列の和=(初項+末項)÷2×項数

等比数列の和=(末項の次の項-初項)÷(公比-1)


階差数列とは

階差数列とは、
数列{a}に対し、
= an+1 - a で定義される数列{bn}のこと。

フィボナッチ数列とは

フィボナッチ数列とは、前の2項の和を次の項として順次つくっていく数列のこと。

第n項をa
その一つ前の項をan-1
さらに前の項をan-2とすると、
以下の関係式が成立します。

= an-1 + an-2

数列の極限と無限級数

数列の極限とは極限値 limn→∞ = A が存在するとき、
この数列{a}はAに収束するといいます。

Aに収束しないときは「発散する」といいます。

このAを数列{an}の極限値といいます。

極限値の例
limn→∞ (1/n) = 0 、limn→∞ (1/n2) = 0

-1<r<1のとき limn→∞ = 0

無限級数

= a + a + a3 ・・・+ a のとき、
limn→∞ となる極限値Sが存在するとき、
Sを無限級数 a + a + a3 ・・・+ a ・・・ の和と呼びます。

無限等比級数の和

-1<r<1のとき、
S=a + ar + … + arn-1 + …
= a/(1-r)

r≦-1 r≧1のとき、無限等比級数の和は存在しません。

2項定理とは

nを自然数とするとき、以下の展開式が成立します。

(a+b)2
= Σr=0 nCr・ an-r ・ b
n-1 b + n-2 + ・・・ n-r

nCrとは n個の異なるものの中からr個をとる組合せの数のことで、二項定理では2項係数といいます。

= 1


連続する2整数の性質

連続する2つの整数の積
n(n+1)
または
(n-1)n は
2の倍数になります。

連続する3整数の性質

連続する3つの整数の積
n(n+1)(n+2)
または
(n-1)n(n+1) は
6の倍数になります。