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数学 積分

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数学 積分基礎


積分とは

「積分する」とは、関数f(x)があるとき、微分するとf(x)になるような関数を求めること。

積分は曲線で囲まれた面積を求めるのに広く利用されてきました。

原始関数とは

原始関数とは、F′(x) = f(x) となる関数F(x)のこと。

定積分とは

f(x)の原始関数F(x)があるとき、定数a、bに対し、 F(b)-F(a)のことを、f(x)のaからbまでの定積分といいます。

そして、その関係は下式で表されます。

f(x) dx = [F(x)] = F(b)-F(a)

不定積分とは

f(x)の不定積分は原始関数と積分定数Cを用いて下式であらわされます。

なお、C′=0なので、Cは定数なら何でもOKです。

つまり、不定積分は無数に存在するということでもあります。

∫ f(x) dx = F(x) + C

積分の基本公式

の不定積分(nは0または正の整数)

∫xdx = 1/(n+1) xn+1 + C

1回積分すると、次数が1増えます。
また、n=0のとき

∫ 1 dx = x + C


以下の基本公式は不定積分だけでなく、定積分でも同様に成立します。

定数の積分は1次関数

xに関係ない定数をkとすると、定数kの積分は下式のように1次関数になります。

∫k dx = kx + C

定数倍の積分は積分の定数倍

∫ k f(x) dx = k ∫ f(x)dx

和と差の積分は積分の和と差

下式は和と差の積分は 積分の和と差と同じことであることを意味しています。

∫( f(x)±g(x) )dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx

上記の関係を利用して以下の3次関数を各項ごとに積分すると、下式のようになります。

y = ax + bx + c のとき

∫(ax + bx + c)dx = 1/3 ax3 + 1/2 ax2 + cx + C


積分を使って「面積」を求めるには

曲線や直線とx軸との間の面積Sは下式で表されます。

下式では、曲線がx軸の上側にあるのか下側にあるのか、その曲線とx軸の位置関係を調べることが重要です。

= ∫ │y│・dx = ∫ │f(x)│・dx

2曲線y=f(x) と y=g(x) の間の面積Sは下式で表されます。

下式では、2曲線のうち f(x) と g(x) のどちらが上か、その位置関係を調べることが重要です。

= ∫ │ f(x) - g(x) │・dx

積分を使って「回転体の体積」を求めるには

曲線f(x)がx軸の周りに回転するときの体積Vは下式で表されます。

= ∫ π・y2・dx = π ∫ f(x) 2・dx

曲線g(x)がy軸の周りに回転するときの体積V2は下式で表されます。

2 = ∫ π・x2・dx = π ∫ g(x) 2・dx


積分を使って「曲線の長さ」を求めるには

曲線y=f(x)の区間 a≦x≦bにおける長さLは下式で表されます。

L = ∫ { √ 1 + (dy/dx)2 } ・dx
= ∫ { √ 1 + (f′(x))2 } ・dx

x=f(t)、y=g(t) で表される曲線の区間 α≦t≦β における長さLは下式で表されます。

L = ∫ { √ (dx/dt)2 + (dy/dt)2 } ・dt
= ∫ { √ (f′(t))2 + (g′(t))2 } ・dt

グラフの対称性とは

面積や曲線の長さを求めるときには、グラフの対称性を利用すると便利です。

関数f(x)が f(-x)=f(x) を満たすとき、f(x)は偶関数であり、そのグラフはy軸について対称です。

関数f(x)が f(-x)=-f(x) を満たすとき、f(x)は奇関数であり、そのグラフは原点について対称です。


三角関数の積分公式(Cは積分定数)

∫cos x dx = sin x + C

∫cos2 x dx
= ∫ (1+cos2x)/2 ・dx
= 1/2・x + 1/4・sin2 x + C

∫cos3 x dx
= ∫ (1-sin2x)・cosx・dx
= ∫ (1-sin2x)・(sinx)′・dx
= sin x - 1/3・sin3 x + C


∫sinx・dx = -cosx + C

∫sin2x・dx
= ∫ (1-cos2x)/2 ・dx
= 1/2・x - 1/4・sin2 x + C

∫sinx・dx
= ∫ (1-cos2x) sin x・dx
= ∫ (cos2x-1) ・(cosx)′・dx
= 1/3 cos3x - cosx + C