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数学 方程式と不等式を理解する

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数学 方程式と不等式を理解する

この記事では方程式と不等式のあらわす領域について記述しています。

直線の方程式

傾きがa、y切片がbの直線は y=ax+b と表せます。

直線とx軸のなす角

直線y=ax+bとx軸の正の部分とのなす角をθとすると、下式が成立します。

傾き a = tanθ

また、定点(p、q)を通り、傾きがaの直線は y = a(x-p)+q と表されます。

異なる2点を通る直線

2点(p,q)、(r,s)を通る直線は下式で表されます。

下式では、(s-q)/(r-s)が直線の傾きを意味しています。

(ただし、p≠r)

y = (s-q)/(r-s)・(x-p)+ q

直線の方程式の一般形

直線の方程式の一般形は下式で表されます。

ax + by +c = 0

(ただし、a、bは同時には0にならないとする。)

2直線の平行と垂直

2直線 y=ax+b と y=a′x+b′ について考えます。

2直線が平行なとき 傾き a=a′ (さらにb=b′だと重なる)

2直線が互いに垂直なとき 傾き a・a′= -1

点と直線の距離

点(p、q)から直線 ax + by +c = 0 に引いた垂線の長さLは下式で表されます。

L = │ap + bq +c│ / √(a2+b2)



因数分解の展開公式とは

和の平方 (a+b)2 = a2 + 2ab + b2

差の平方 (a-b)2 = a2 - 2ab + b2

(a+b+c)2 =a2+b2+c2 +2ab+2bc+2ca

(a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 +b3

(a-b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 -b3


対称式とは

a、bについての対称式は、基本対称式a+b、abで表すことができます。

a2 + b2 = (a+b)2 - 2ab

a3 + b3 = (a+b)3 - 3ab(a+b)


和と差の積は平方の差

和と差の積は、2乗の差になります。

(a+b)(a-b) = a2 - b2

1次式の積

1次式の積は、以下のようになります。

(a+b)(c+d) = ac2 + (ad+bc) + bd


1次方程式と1次不等式

1次方程式 ax+b (a≠0) の解は x = b/a

1次不等式 ax>b (a≠0) の解

a>0のとき、x > b/a

a<0のとき、x < b/a


連立1次方程式

ax + by = e ・・・(1)

cx + dy = f ・・・(2)

ad-bc≠0のとき

上記の連立方程式はad-bc≠0のとき、ただ一つの解をもち、解の値は直線(1)(2)の交点の座標で与えられます。

ad-bc=0のとき

上記の連立方程式はad-bc=0のときは、解をもたず2つの直線は平行をもつか、
2つの直線が重なり無数の解をもつかのどちらかになります。


2次方程式と2次不等式

まずax2+bx+c=0 の左辺が因数分解できるか考えます。

うまく因数分解できないときは解の公式を使います。

2次方程式 a(x-α)(x-β)=0の解

→ x=α またはx=β

ただし、a≠0
α、βは実数でも複素数でもOK



2次方程式の解の公式

実数係数をもつ2次方程式 ax2 + bx + c = 0 (a≠0) の解は下式で表されます。

x = -b ± √(b2 - 4ac) / 2a

2次方程式の解の配置

ある2次方程式 ax2 + bx + c = 0 (a≠0) の解がプラスの値かマイナスの値か調べるために、以下の2次関数のグラフを利用します。

y = ax2 + bx + c
= a(x + b/2a)2 - (b2 -4ac /4a)

a>0のとき

ある方程式が二つのプラスの値の解をもつとき

2 -4ac はプラス
-b/2a はプラス
c はプラス

ある方程式が二つのマイナスの値の解をもつとき

2 -4ac はプラス
-b/2a はマイナス
c はプラス

ある方程式がプラスとマイナスの解をもつとき

c はプラス


解の判別式

実数係数をもつ2次方程式 ax2 + bx + c = 0 (a≠0)の解は
判別式 D = b2 - 4ac の符号によって、以下の3パターンに分類できます。

また、実数係数をもつ2次方程式 ax2 + bx + c = 0 (a≠0)の2つの解と
2次関数 y=ax2 + bx + c の関係をまとめると、以下のようになります。

D = b2 - 4acの符号

Dが+
D=0
Dが-


ax2 + bx + c = 0の解

異なる二つの実数解をもつ
グラフはx軸と2点で交わる


重解をもつ。
グラフはx軸と1点で接する

異なる二つの虚数解をもつ。
グラフはx軸と共有点を持たない



2次方程式の解と係数の関係

係数をもつ2次方程式 ax2 + bx + c = 0 (a≠0)の2つの解をα,βとすると、下式が成立します。

下式はα、βが虚数解のときでも成立します。
また、係数abcが複素数のときでも成立します。

α + β = -b/a

α・β = c/a

2次不等式の解と係数の関係

実数α、βについて、α<βのとき

(x-α)(x-β)>0の解 → x<α、 β<x
(x-α)(x-β)<0の解 → α<x<β

不定方程式とは

不定方程式とは、文字(未知数x、y…)の個数が方程式の数より多い場合、または条件がない限り、解が一つに決まらない方程式のこと。

8x + 7y = 56

上式では、条件が決まらないと、x=~ y=~ というふうに解が一つに定まらない。


不等式のあらわす領域とは

xとyの方程式は、直線や円のように座標平面上で一つの「線」を表します。

xとyの不等式は、平面上の一部、つまり「面」を表します。

座標平面上で与えられた不等式を満たすx、yを座標とする点(x、y)の集合を、この不等式が表す領域といいます。


1.y>f(x) または y<f(x) があらわす領域

不等式 y>f(x) または y<f(x) があらわす領域は、y=f(x)で区切られた平面の一部をあらわします。

y>f(x) の領域

→ y=f(x)のグラフより上側

y<f(x) の領域

→ y=f(x)のグラフより下側
(不等号が≦≧のときは境界線も含みます。)


2.f(x,y)>0 または f(x,y)<0 があらわす領域

不等式 f(x,y)>0 または f(x,y)<0 があらわす領域は、曲線f(x,y)=0が境界線になります。

f(x,y) = 0 が表す図形に対し、
f(x,y) >  0 を満たす領域を正領域といいます。
f(x,y) < 0 を満たす領域を負領域といいます。

正領域と負領域は単純に上か下かだけでは決まらないこともあります。


f(x,y) = (x-a)2 + (y-b)2 - r2 (r>0)のとき

f(x,y)=0
つまり (x-a)2 + (y-b)2 = r2 が表す円の

円の内側 (x-a)2 + (y-b)2 < r2 が 負領域

円の外側 (x-a)2 + (y-b)2 > r2 が 正領域となります。


連立不等式があらわす領域

2つ以上の不等式があらわす領域は、それぞれの不等式があらわす領域の共通部分であり、これを連立不等式があらわす領域といいます。

整数の最大値・最小値

条件を満たす整数nを求める際は、与えられた条件すべてからnの不等式を立て、そのすべての不等式を満たすnを求めます。

最大値を求めるときにはnの最大値が、最小値を求めるときにはnの最小値が、それぞれ求める値になります。


相加平均と相乗平均の大小関係

正の数a、bにおいて、その相加平均 (a+b)/2 と 相乗平均√ab の間には、以下の関係が成立します。

(a+b)/2 ≧ √ab

(a≧0、b≧0)

なお、等号(=)が成り立つのは、a=bのときです。

この関係を用いると、最小値を求めることができます。


三角形の辺の間の関係(三角不等式)


│a│+│b│≧│a+b│

なお、等号(=)が成り立つのは、aとbの符号が同じときか、一方が0のときです。

│b-c│ < a < b+c