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放物運動と周期運動のやり方

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放物運動と周期運動のやり方


放物運動とは

放物運動とは、重力の作用のもとで投げ出した物体がふるまう運動のこと。

水平投射とは

水平投射とは、地面に対して水平方向に物体を投げること。

力は常に鉛直下向きに重力がはたらいていますが、水平方向にははたらきません。

なので水平方向の放物運動は、
水平方向は等速直線運動、
鉛直方向は自由落下運動に分解できます。

= v

= gt

x = v・t

y = 1/2・g・t

斜方投射(大砲の弾道)とは

斜方投射とは、物体をある初速度をもって空中に投げ出す動作のこと。

斜方投射された物体は重力の影響のみを受けます。

なので、斜方投射された物体の運動も自由落下の一種とみなすことができます。

空気抵抗が十分小さく無視できる場合、斜方投射された物体の軌跡は放物線を描きます。

斜方投射は、水平方向の等速直線運動と、鉛直方向の投げ上げ運動に分解できます。

= v・cosθ

= v sinθ - gt

x = v・cosθ・t

y= v sinθ・t - (1/2)g・t

水平となす角θ、初速度v0の斜方投射では、
水平方向にx軸、
垂直方向にy軸をとると、
x方向は等速度運動、
y方向は重力加速度-gの等加速度運動になります。

x方向

x = dx/dt = v0・cosθ

上式をt で積分
x = v0・cosθ・t

y方向

= dy/dt
= v0・sinθ -g・t

上式をt で積分
y = v0・sinθ・t - (1/2)g・t2

y2 - v02・sinθ = 2(-g)y


周期的な運動

周期的な運動には、おもに「円運動」と「単振動」があります。

等速 円運動とは

等速円運動とは、一定の速さで円周上を動く物体の運動のこと。

周期Tとは

周期Tとは、1回転に要する時間のこと。

円周上を1回転する時間Tを円運動の「周期」と呼びます。

T = 2πr / v

r:半径
v:速度

また、1回転の角は2π〔rad〕なので、
角速度をωとすると、
周期Tは下式でも表されます。

T = 2π / ω


等速円運動している単純な例

回転軸にロープで縛られたボールは、円軌道を一定の角速度ωで回る。

ボールの速度は軌道の接線方向のベクトルであり、向心力によって常にその方向が変化している。

向心力は張っている状態にあるロープによって生み出されている。

向心加速度 α とは

向心加速度とは、回転する系の中心に向かう加速度のこと。

等速円運動では、速度vは一定ですが、向きが変化するため、加速度αは一定ではなく、常に中心を向きます。

向心加速度の大きさαは下式のように2通りの表現の仕方があります。

α = rω2

α = v2/r

r:半径〔m〕
ω:角速度〔rad/s〕

向心力 F (Centripetal force)とは

向心力とは、物体を曲線軌道で動かす力のこと。

運動の法則により、加速度の原因となる力(向心力 F)も常に中心を向きます。

つまり、向心力の方向は常に物体の速度とは垂直方向(経路の瞬間的な接触円の中心)を向いています。

F = m・(v/r) = mrω

角速度 ω とは

角速度(angular velocity)とは、ある点を中心に単位時間当たりに回転する角のこと。

等速円運動の角速度をω〔rad/s〕とすると、時間t〔s〕の間の回転角θ〔rad〕は下式で表されます。

θ = ω・t

v = r・ω

鉛直面内の円運動

長さL の糸の先端に質量mの重りをつけ、鉛直面内で不等速な円運動をさせます。

このとき、各瞬間ごとに運動方程式が成り立ちます。

m = v/L = T - mgcosθ

T :張力
mgcosθ :重力の半径方向成分

上式と力学的エネルギー保存の法則を連立させます。

ただし、h = L(1 - cosθ)

1/2 mv + mgh = 1/2 mv0