ホワイト企業と就職活動

ホワイト企業は労働法を遵守する

数学 微分

スポンサーリンク

数学 微分基礎


確率微分方程式

ニュートンの微分方程式で表現することができるのは直線もしくは一定の規則性を持つ曲線のみ。

フラクタル曲線のような不確定要素をもつ曲線は微分ができないため方程式で表すことができませんでした。

微積分に確率論を導入することで、ブラウン運動の軌跡や株式等の金融商品の価格変動の軌跡など、規則性のない曲線を方程式で表現することが初めて可能になりました。

ブラウン運動とは

シャーレの中に水を入れて花粉のような軽いものをその中に入れると、何もしないのにフラフラと振動する現象のこと。


微分をするとは

xの関数f(x)からその導関数f'(x)を求めることを、f(x)をxについて微分するといいます。

導関数f'(x)とは

関数f(x)に対し、これを微分して得られる関数f'(x)を導関数といいます。

一般に関数y=f(x)が与えられたとき、xの各々の値aに微分係数f'(a)を対応させれば、一つの新しい関数f'(x)が得られます。

このf'(x)をf(x)の導関数といいます。


.     f(x+h)-f(x)
f'(x)=lim─────────────
.   h→o    h


曲線状のある一点における接線の方程式

f'(x)にx=aを代入したf'(a)をx=aにおける微分係数と呼びます。

曲線y=f(x)上の点(a,f(a))における接線の傾きは微分係数f′(a)に等しいです。

言い換えるとf'(a)は点(a、f(a))において、y=f(x)に引いた接線の傾きをあらわします。

接線の方程式は下式であらわされます。

y = f'(a) (x-a) + f(a)


微分の公式

xnの導関数

n=1、2、3・・・(有理数)のとき
(xn)′ = n・xn-1
1回微分をすると、次数が1減ります。

(sin x)′= cosx

(cos x)′= sinx

(tan x)′= 1 / cos2

(log x)′= 1 / x

(logA x)′= 1 / x・logA
(ただしA>0、A≠1)

(e)′= e

(A)′= A・logA
(ただしA>0、A≠1)

定数の微分は0

xに関係ない定数をkとすると、定数kの微分は0になります。

(k)′ = 0

つまり、定数関数y=kを微分すると、y′=0 となります。

定数倍の微分 = 微分の定数倍

一般に定数kと関数f(x)について次の式が成り立ちます。

下式は定数倍の微分は微分の定数倍と同じことであることを意味しています。

(k f(x))′ = k・f′(x)

和と差の微分 = 微分の和と差

下式は和と差の微分は 微分の和と差と同じことであることを意味しています。

( f(x)±g(x) )′ = f′(x) ± g′(x)

上記の関係を利用してある3次関数を微分すると、下式のようになります。

f(x) =ax + bx + cx + d のとき

f′(x) =3ax + 2bx + c

関数の増減とは

関数f(x)の増減を調べるためには、導関数f′(x)の値がプラスかマイナスか確認します。

ある区間で
つねに f'(x)>0 → f(x)はその区間で単調増加します。

つねに f'(x)<0 → f(x)はその区間で単調減少します。

関数f(x)の最大値や最小値を求めるためには、定義域における導関数f′(x)の符号の変化を増減表にして、両端での値や極値を調べるのが一般的です。

極大値と極小値とは

y=f(x)がx=aで極大値または極小値をとる → f′(a)=0
この関係は逆方向には成立しません。

関数f(x)が微分可能なとき、f(x)がx=aで極値を取ると、
そのときの接線の傾きは f′(a)=0 となります。

接線の傾きが0つまりf′(a)=0となるx=aを境にして
f′(x)が プラスからマイナス に変わればf(a)は極大値です。

f′(x)が マイナスからプラス に変わればf(a)は極小値です。

なお、f′(a)=0であってもf(a)が極値になるとは限りません。

x=aを境にしてf′(x)の符合が変わらない限りf(a)は極値ではありません。

増減表の作成

y=f(x)のグラフを描くには、
f′(x)=0の実数解を求め、
その前後でのf′(x)=0の実数解を求め、
その前後でのf′(x)の符号の変化を調べて増減表を作ります。