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層流と乱流の関係式

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層流と乱流は何が違うのか


層流とは

層流とは、管内を流体が流れる時、その流体の流線が常に管軸と平行なもののこと。

管壁に近づくほど流速は小さくなり、管の中心で最も流速が大きくなります。

これは流体が管壁から摩擦抗力を受けるからであり、その力の大きさを推測することで管壁からの距離と流速の関係を式に表すこともできます。

特に、円管内の層流はハーゲン・ポアズイユ流れ(Hagen-Poiseuille flow)と呼ばれています。

円管内の層流とは

管の長さL、管の半径Rの円管内を、流体が完全に満ちて層流の状態になっているとします。
この管内の長さL、半径rの部分に注目すると、力のつり合いから、せん断応力τは下式で表されます。

τ = (r・ΔP) / 2L

τ :せん断応力〔Pa〕
ΔP:上流側と下流側の圧力差(圧力損失)〔Pa〕

ここでニュートンの粘性法則を上式につなげてみます。

τ = μ・du/dr = μ・γ

μ:粘度〔Pa・s〕
γ:せん断速度〔s-1

すると、流速uの分布は下式のように表されます。

μ・du/dr = r・ΔP / 2L

du/dr = -(ΔP / 2L・μ)r


管壁における流速を0としてr=0 (管中心) から r=R (管壁) まで 上式を積分すると、下式のようになります。

u = (R2・ΔP/4L・μ){1-(r/R)2}

管内層流では管中心(r=0)で流速が最大で、管壁(r=R)で流速が0となり、流速分布は放物線上になります。
最大流速をumax、平均流速をUとすると、層流の平均流速は下式で表されます。

U = umax/2 = R2・ΔP /8L・μ


一方、体積流量Q〔m3・s-1〕は下式で表されます。

Q = π・R2・U = π・R2・ΔP /8L・μ

圧力損失ΔPは管直径をD=2Rとして、以下のハーゲン・ポアズイユの法則で表されます。

ΔP = 8L・μ・U / R2 = 32L・μ・U / D2


乱流とは

乱流とは、層流ではない流れのこと。

生活の中で見られる空気や水の流れはほぼ全てが乱流です。
また、乱流は熱や物質を輸送し拡散する効果が非常に強いので、工学的にも非常に重要です。

層流と乱流のおおよその区別はレイノルズ数によって判断され、レイノルズ数の値が大きいと乱流と判断されます。


円管内の乱流

円管内の乱流ではナビエ・ストークスの式による解析的な取り扱いが難しいです。

そこで、流速分布を実験結果から経験的に与える「指数法則」というものを利用します。

u = umax(y/R)1/n

u:流速
max:最大流速
y:管壁から管中心に向かう方向の距離
R:管半径
n:実験的パラメータ

通常、実験パラメータのnは6~10の値をとりますが、n=7とすることが一般的です。

n=7のとき、下式のことを7分の1乗則と呼びます。

u = umax(y/R)1/7

また、平均流速U は下式で表されます。
右辺の係数はnの値が6,7,8,9,10と変化しても、それぞれ0.79、0.82、0.84、0.85、0.87程度であり、乱流は層流よりも平坦な流速分布になることが示されます。

U = 2n2 / (n+1)(2n+1) ・ umax