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数学 円の定理を理解する

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数学 円の定理を理解する


円周率π(パイ)とは

円周率とは、円周の直径に対する割合のこと。

円周率π=3.1415926535…

円周率 = 円周の長さ ÷ 直径

円周の長さ = 直径 × 円周率

円の面積 = 半径 × 半径 × 円周率

扇形の面積 = 円の面積 × 中心角/360

内接円とは

内接円とは、図形の内側にぴったり入る円のこと。

円に内接する四角形の性質

円に内接する四角形の対角の和は180°になります。
(内接とは、円の内側にぴったりくっついているという意味)

円周角の性質とは

ある円における弧ABに対する複数の円周角は、どれもすべて角の大きさが等しくなります。

円の中心と弦の関係

円の中心から弦に垂直な線を引くと、その弦の長さは2等分されます。

円周角定理とは

円周角定理とは、円周角は中心角の半分の大きさになるという定理のこと。

円周角 = 1/2・中心角

とくに中心角の大きさが180°(直径そのもの)のとき、半円弧の円周角は90°となり、その円周角を含む三角形は直角三角形になります。

接弦定理とは

接弦定理とは、「接線と弦のつくる角が、その内部の弧に対する円周角に等しい」という定理のこと。

円の方程式とは

点Q(a,b)を中心とし、半径rの円を考えます。

円はある点からの距離が一定である点の軌跡なので、円周上の点をP(x,y)とすると、PQ=rとなります。

なので、三平方の定理を使うと、点Q(a,b)を中心とし、半径rの円の方程式は下式で表されます。

(x-a)2 + (y-b)2 = r2

なお、原点O(0,0)を中心とし、半径rの円の方程式は下式で表されます。

+ y = r

円と直線の接する条件

円 x2 + y2 = r2

直線 y = mx + n

円と直線が接するということは、以下の二つの条件が成り立つということを意味します。

・円と直線の連立方程式が重解をもつ。
・円の中心O(0,0)と直線との距離が円の半径rに等しい。

円の接線とは

円 x + y = r 上の点(a、b)で、この円に引いた接線の方程式は下式で表されます。

ax + by = r2

円の方程式と直線の方程式を連立させてyを消去すると、xの2次方程式が得られます。

接線はこの2次方程式の判別式Dが、D=0のときに対応します。

円と接線の関係

・円の接線は、接点を通る半径に垂直になります。

2円の接する条件

二つの円O1、O2の半径をそれぞれr、rとし、2円の中心間の距離をdとすると、以下のことが成立します。

O1とO2が外接する ⇔ d = r + r

O1とO2が内接する ⇔ d = │ r - r


だ円方程式と平行移動

中心O(0,0)で、
x軸上の2点(a,0)、(-a,0)、
y軸上の2点(0,b)、(0,-b)を頂点とする楕円は、下式で表されます。

2/a2 + y2/b2 = 1 (a>0 b>0)

この楕円をx軸方向にp、y軸方向にq平行移動すると、下式のようになります。

(x-p)2/a2 + (y-q)2/b2 = 1 (a>0 b>0)

楕円の接線の方程式

だ円 x2/a2 + y2/b2 = 1 上の点(x0、y0)における接線の方程式は下式で表されます。

0・x/a2 + y0・y/b2 = 1

だ円の面積

だ円 x2/a2 + y2/b2 = 1 (a>0 b>0) の面積Sは、下式で求められます。

S = π・a・b