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流れの基礎方程式とは

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流れの基礎方程式とは

流体についての連続の方程式

連続の方程式(equation of continuity)は物理学で一般的に適用できる方程式で、「物質が突然現れたり消えたりすることはない」という自然な考え方をあらわします。

こうした背景から、連続の方程式は保存則と密接に関わっています。

非圧縮性流体とは

非圧縮性流体とは、縮まない流体のこと。
流体の密度ρ〔kg・m-3〕が空間的・時間的に変化しないとき、この流体を非圧縮性流体といいます。

非圧縮性流体についての連続の方程式

非圧縮性流体の流れにおける、質量保存則にあたる連続方程式は下式で表されます。

∇・ν = div ν = 0

∇:微分演算子ナブラ
ν:流体の速度〔m・s-1

∇(ナブラ)は、ベクトル解析におけるベクトル微分演算子(ベクトル微分作用素)の一つ。

連続の方程式に対して、非圧縮性流体の性質(密度が一定であること)を付加すると、 非圧縮性流体における連続の式が導き出されます。

非圧縮性完全流体は密度が一定で、ずれの応力が無視できるので、非圧縮性完全流体が微少時間Δtに点Aを通過する流量は点Bを通過する流量に等しいです。

なお、密度が一定というのは、空間的に一様という意味ではなく、 変形していく領域内で一定という意味です。

この関係を表した下式を連続の方程式といいます。

ρ・Sa・va・Δt = ρ・Sb・vb・Δt

Sa・va = Sb・vb

a:断面積がSaの点Aでの流体の速さ
b:断面積がSbの点Bでの流体の速さ
ρ :流体の密度


ナビエ-ストークス方程式

非圧縮性のニュートン流体の場合、密度ρ〔kg・m-3〕だけでなく、粘度μ〔Pa・s〕も一定になります。
単位体積あたりの流体の運動方程式は以下の「ナビエ-ストークス方程式(Navier–Stokes equations)」で表されます。

ρ(∂ν/∂t)+ρ(ν・∇)ν = -∇p + μ∇2ν + ρg
時間変化 対流 圧力 粘性 重力

ν:流体の速度〔m・s-1
p:圧力〔Pa〕
g:重力加速度〔m・s-2
t:時間〔s〕

ナビエ・ストークス式の左辺第2項の対流項は非線形を示すため、この式を解析的に解くことは難しいとされてきましたが、最近はコンピュータの進歩でそれも可能になってきています。

ベルヌーイの定理とは

ベルヌーイの定理(Bernoulli's principle)とは、流れに沿って成り立つエネルギー保存の法則で、流体の挙動をやさしく表した式のこと。
ベルヌーイ氏によって1738年に発表されました。

ベルヌーイの定理の示すところは“流速が上がれば圧力が下がる”ということです。

非圧縮性流体の流れている管の2箇所を、上流側をA、下流側をB とします。
点A、点Bでの流体の圧力をそれぞれPa、Pb、基準面からの高さをそれぞれha、hbとし、重力加速度の大きさをgとします。
微小時間ΔtのあいだにAB間の流体が圧力による力によってなされた仕事は力学的エネルギーの変化に等しいことから、下式が導かれます。

(力学的エネルギー = 運動エネルギー + 位置エネルギー)

Pa・Sa・va・Δt - Pb・Sb・vb・Δt = (1/2)・ρ・Sb・vb・Δt・vb2 - (1/2)・ρ・Sa・va・Δt・va2 + ρ・Sb・vb・Δt・ghb - ρ・Sa・va・Δt・gha

上式に連続の方程式を組み合わせると、以下のベルヌーイの定理が導かれます。

Pa - Pb = (1/2)ρ・(v2 - va2) + ρg(h-ha)

Pa +(1/2)ρ・v2 + ρgha= Pb +(1/2)ρ・v2 + ρghb


エネルギー保存則とは

非圧縮性流体の流れている管の2箇所の断面を、上流側をA、下流側をB とします。

粘性の影響が無視できる完全流体を考えると、流れに関与する物理量が時間的に変化しない定常流で外部から熱や仕事のやりとりがない時のエネルギー保存則は以下のベルヌーイの式で表されます。

(ρ・u2)/2 + ρ・g・ZA + PA = (ρ・uB2)/2 + ρ・g・ZB + PB

u:流体の速度〔m・s-1
ρ:流体の密度〔kg・m-3
p:圧力〔Pa〕
Z:断面での鉛直方向の高さ(位置座標) 〔m〕
g:重力加速度〔m・s-2


ベルヌーイの式の両辺を流体の密度ρで割ると、単位質量あたりのエネルギー保存則になります。

2/2 +g・ZA + PA/ρ = uB2/2 + g・ZB + PB/ρ

頭(head)とは

単位質量あたりのエネルギーを頭(head)といい、速度頭、位置頭、圧力頭などと呼びます。

エネルギー収支式とは

完全非圧縮性の流体がAからBまで流れる間に単位質量あたりW〔J・kg-1〕の仕事をされた場合、単位質量あたりのエネルギー保存則の式の左辺にWを追加します。

また、粘性による摩擦を考慮しなければならないときは、それによるエネルギー損失分F〔J・kg-1〕を右辺に加えます。これを損失頭と呼びます。

2/2 +g・ZA + PA/ρ + W = uB2/2 + g・ZB + PB/ρ + F

熱交換器がついているような場合は、さらに上式を補正する必要があります。


エネルギー収支とは

ある化学反応の系におけるエネルギー収支のこと。
エネルギー収支はエネルギー保存則の表現の一つといえます。

一般に、ある系については以下の収支条件が成立します。

系内での蓄積量 = 系への流入量 + 系内での生成量 - 系からの流出量 - 系内での消費量

系内での生成や消費がないときは、上式は以下のようになります。

系内での蓄積量 = 系への流入量 - 系からの流出量

また、系内の様子が時間的に変化しない状態である定常状態では、系内の蓄積量が0になるので、下式のように単純化できます。

系への流入量 = 系からの流出量

物質収支とは

物質収支(Mass balance)とは、ある化学反応の系において、「その系に投入した物質の量」と「系から得られた物質の量」との収支のこと。
物質収支は質量保存則の一つの表現といえます。