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ニュートン力学の理解の仕方

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ニュートン力学の理解の仕方

ニュートン力学とは

ニュートン力学は「物」の運動を解き明かす科学です。

17世紀にイギリスの自然哲学者サー・アイザック・ニュートンにより体系的にまとめ上げられたため、ニュートン力学と呼ばれます。

「物」というのは、自然界のほぼすべての物体のことを意味します。

雨粒のような小さいものから星のような大きいものまで、
たいていの物の運動がニュートン力学の守備範囲です。


ニュートンの運動の法則とは

ニュートン力学で有名なのが「ニュートンの運動の3法則」です。

1.慣性の法則

2.運動方程式

3.作用・反作用の法則

ニュートンの運動の法則は、物体にはたらく力物体の運動 の関係についての法則を意味します。

ニュートン力学では、物体質点(質量をもった数学的な点)の集まりとして扱われます。

各質点は力の影響を受け、以下のニュートンの運動の3法則に従って運動します

1.慣性の法則(運動の第一法則)

「慣性の法則」とは
静止した物体は、力を加えない限り、静止し続ける。

動いている物体は、力を加えない限り、同じ速さでまっすぐに進み続ける
という法則です。

物体に力がはたらかないか、または力がはたらいていても合力が0のとき、物体は「静止」または「等速度直線運動」を続けます。

つまり、外力が加わらなければ、質点はその運動(静止)状態を維持します。

やさしく言うと、外から力が加わらない限り、物体の運動の状態は変化しない、ということです。


2.運動方程式 (equation of motion:運動の第2法則)

質量mの物体に力Fが働くと、加速度αが生じます。

ニュートンの運動方程式は、この関係式のことです。

この方程式では、力が質量と加速度の積に等しいことを示しています。

質量 × 加速度 = 力

m・α = F

一般に、重い荷物を運ぼうと思ったら、より大きな力が必要になります。

物体に力がはたらくと、物体には力と同じ向きの「加速度」が生じます。


加速度とは

力とは「物体の速度を変えるもの」です。

この速度変化の度合いのことを、加速度といいます。

加速度は力の大きさに比例し、力の方向に作用します。

質量 ∝ 力

(このマーク ∝ は比例するという意味の記号)


加速度の大きさは力の大きさに比例し、物体の質量に反比例します。

運動方程式 F = m・α

つまり、質量が大きい物体ほど、加速するのに大きな力が必要。

つまり、質量と力は比例するということ。

質量 ∝ 力

(このマーク ∝ は比例するという意味の記号)


運動方程式のまとめ

質量 と 力 は比例する。

加速度 と 力 も比例する。

二つをまとめると、

質量 × 加速度 = 力 となります。


力が複数働くときは、下式のように書けます。

mα = F1 + F2 + ・・・ + F

力の方向をx方向や、y方向に分解するときは、下式のように書けます。

mα = Fx1 + Fx2 + ・・・ + Fxn

mα = Fy1 + Fy2 + ・・・ + Fyn


運動方程式の応用

もし、質量既知のある物体に働く力が分かれば、運動方程式から加速度が算出できます。

質量 × 加速度 = 力

加速度 = 力 ÷ 質量

α = F ÷ m

α:加速度〔m/s2
F:力〔kg・m/s2
m:質量〔kg〕)


等加速度直線運動における速度と時間の関係式

加速度は 速度の時間変化率だから、
加速度を時間tで積分すると、
速度が算出できます。

つまり、物体の速度がどう変化していくのかが分かります。

d v/dt = α

∫ (d v/dt) dt = ∫ α dt

v = αt + c
(cは積分定数)

v = αt + v0
(v0は時刻t=0のときの初速度)

v:速度〔m/s〕、
α:加速度〔m/s2〕、
t:時間〔s〕


等加速度直線運動における位置と時間の関係式

速度は 位置の時間変化率だから、
速度を時間tで積分すると、
物体の位置(座標)が算出できます。

つまり、物体の位置がどのように変化していくか、
その軌跡を求めることができます。

d x /dt = v ( = αt + v0)

∫ (d x /dt) dt = ∫ (αt) dt + ∫ v0 dt

x = 1/2(αt2) + v0t + c
(cは積分定数)

x = 1/2(αt2) + v0t + x0
(x0は時刻t=0のときの位置)

x :位置(移動距離)〔m〕、
α:加速度〔m/s2〕、
v:速度〔m/s〕、
t:時間〔s〕


等加速度直線運動における速度と位置変化の関係式


v = αt + v0 だから、

t = (v - v0) ÷ α

これを x = 1/2(αt2) + v0t + x0 に代入すると…

x = (1/2)α(v - v0)2 ÷ α2 + v0(v - v0) ÷ α + x0

2 - v02 = 2α( x - x0 )


3.作用・反作用の法則(運動の第3法則)

3番目の「作用・反作用の法則」とは、二つの物体に働く力についての法則です。

ある物体Aが別の物体Bに力(作用)をおよぼす時、
物体Bも物体Aに同じ大きさで、
向きが正反対の力(反作用)を及ぼします。

つまり、力というものは、それ自体独立して存在できるものではないのです。

力はペアで働く

力は、物と物とが押し合ったり引き合ったりするときに働くものなので、
必ず「ペア」でないと存在できないのです。

作用・反作用の法則の要点

ある力が存在すると分かったとき、

その力とペアになる相手の力は

最初の力と逆向きで、
大きさが全く同じ力となります。

これが作用・反作用の法則の要点です。

2つの物体AとBが互いに力を及ぼし合うとき、

AがBに及ぼす力FAB

BがAに及ぼす力FBAとは、

大きさが等しく、
互いに逆向きで、
同一直線上にあります。

つまり、 FAB = FBA が成り立ちます。


作用・反作用の法則の実例

歩く
歩いているとき、私たちは足で地面を後方に蹴っています。

このとき反作用で地面から押し返されるから私たちは前に進むことができます。

人が地面を蹴る力を作用とすると、このときの反作用の正体は「摩擦力」です。

空を飛ぶ
プロペラ式の飛行機はプロペラで空気を後方に押し出して、空気がプロペラを押し返すときの反作用で前方へ進んでいます。

イメージとしてはプロペラ式の飛行機は空気を「蹴って」前へ進んでいます。


速度(velocity)とは

速度とは、単位時間当たりの位置の変化のこと。

日常語としての速度(スピード、speed)は、一定時間あたりに進む距離のことです。

これは [移動距離] ÷ [経過時間] で求めることができ、時速、分速などの単位が用いられます。

物理学では、日常的な意味での速度を速さ(speed)と呼び、速度(velocity)とは区別します。

速度は運動を表す物理量であり、ある物体が移動するときの、単位時間あたりの変位を表します。

速さと速度の違い

物理学では速さ向きとを併せたものを速度といい、
速さは「速度の大きさ」を示すスカラー量とみなされます。

速度は「大きさ」 と「向き」をもつのでベクトル量であり、それを明示するために速度ベクトルと呼ぶこともあります。


加速度(acceleration)とは

加速度とは、
単位時間当たりの速度の変化率のこと。
1秒ごとの速度の変化。
質点の運動(運動量)の時間的変化。

加速度の単位には m/s2(メートル毎秒毎秒)が用いられます。

また、地震の揺れの加速度には、ガル (Gal) という単位が使用されます。
(100 Gal = 1 m/s2)


等加速度運動とは

等加速度運動とは、加速度αが一定の運動のこと。

加速度が一定になるのは、運動方程式 F=mα から、物体に一定の大きさと向きの力 F がはたらくときです。

時刻tでの速度をv、位置をxとすると、下式が成立します。

v = v + α・t
x = v + 1/2 αt
- v = 2αx

:初速度

自由落下(Free fall)とは

自由落下とは、一様な重力が働く状況下において初速ゼロで運動を開始した物体の等加速度直線運動のこと。

自由落下は重力だけを受ける物体の運動(α=g)であり、初速度をもって運動する斜方投射などと区別することがあります。


等加速度直線運動

物体に働く力Fが一定のときは、
mα=Fの関係から、加速度αも一定になります。

加速度αは速度vの時間微分なので、

dv/dt = α (一定)

上式の両辺を時間tで積分し、
t=0のとき、
v = v0とすると、
下式のようになります。

v = α・t + v0 ・・・①

速度vは位置xの時間微分なので、下式が成立します。

v = dx/dt = α・t + v0

上式の両辺を時間tで積分し、
t=0のとき、
x = x0 とすると、
下式のようになります。

x = x0 + v0・t + (1/2)αt2

初期位置x0 からの変位をs とすると、
s=x-x なので、
下式のようになります。

s = v0・t + (1/2)αt2 ・・・②

①、②式からtを消去すると、
下式が導かれます。

- v02 = 2αs ・・・③

①、②、③式が等加速度直線運動の公式になります。


運動量と力積とは

運動量(momentum)とは

運動量とは、
質量mの物体が速度vで運動するとき、
mv(質量×速度)で表される量のこと。

運動量は、物体の運動のいきおいを表します。

キャッチボールを例に挙げます。
キャッチボールをしているときに投げられたボールのいきおいのことを、ボールの運動量といいます。

ボールの運動のいきおい(運動量)はボールの速度と、ボールの質量に依存します。

つまり、運動量というものは 速度×質量 で表せます。

運動量 = 速度 × 質量

質量m、速度vの物体の 運動量p は下式で表されます。

p = m・v

運動量 = 質量 × 速度

日常生活では、運動量は動いている物体の止めにくさとして体感されます。

つまり重くて速い(運動量が大きい)物体ほど静止させるのに大きな力積が必要になります。


力積(impulse)とは

力積とは、質量mの物体に力FがΔt秒間はたらいたときに、F・Δt (力×時間) で表される量のこと。

F・Δt のことを、「力Fによる力積」といいます。

力積は力の大きさと力が働く時間を掛けあわせたもので、他の物体の運動量をどれだけ変化させるかを表します。


運動量保存の法則(conservation of momentum)とは

運動量保存の法則とは、ある系に外部から力が加わらないかぎり、その系の運動量の総和は不変であるという法則のこと。

外からの力が加わらないかぎり、その物体自身の出す力で物体が運動中に二つに分かれたり、それらの速度が変わったとしても、分かれたものの運動量の総和は、はじめの運動量と少しも変わりません。

運動量保存の法則は高校物理の教科書だと、
「二つの物体がぶつかった時、ぶつかる前と後で二つの物体の合計の運動量は同じ」という「一直線上での2物体の衝突」の例が有名です。

二個の質点が衝突した場合の運動量保存則

質量がそれぞれm、mの二つの質点が、
速度 v1、v2 で衝突し、
衝突後の速度がそれぞれ v'1、v'2 となった場合、
2物体の運動量の総和は一定に保たれます。

つまり、衝突の前後で2物体の運動量の和は変わらない、ということ。

・v + m・v = m・v' + m・v' ( = 一定 )

(衝突前の2物体の運動量の和)
= (衝突後の2物体の運動量の和)

ロケットと運動量保存則

ロケットが宇宙を飛ぶのも運動量保存の法則で説明できます。

ロケットは燃料を燃やしたときにできた燃焼ガスを後方に噴出する時に生じる反動で前に進んでいます。

つまり、ロケットは誰かが外から押したり引いたりするのではなく、

機体内部から噴出されたガスの反動による推力で飛んでいます

推力とは

後方へ噴出した燃焼ガスの分だけ、ロケットは前方への運動量を得ることができます。

この反動による力のことを推力(推進力)と呼びます。


運動量原理(Momentum principle)とは

質量mの物体に、
力FがΔt秒間働き、
物体の速度が v から v′ に変化したとき、
以下の関係が成立します。

mv′ - mv = F・Δt

運動量を用いると、ニュートンの運動の第2法則は上式の両辺を時間tで微分し、下式で表されます。

dp/dt = F

質量mが一定のときは
m・(dv/dt) = F

α=dv/dt なので、
mα=Fとなり、
運動方程式を表すことが分かります。

上式の両辺を時間t1からt2まで t で積分すると、
t=t1のときv=v1
t=t2のときv=v2として、

t1 t2 m・(dv/dt) = ∫t1 t2 F・dt

mv2 - mv1 = ∫ t1 t2 F・dt

この式の左辺は運動量変化を表し、右辺を力積といいます。

つまり、運動量変化は物体が受けた力積に等しくなります。